Inégalité de Hölder
Généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz à différents espaces \(L^p\).
- hypothèses :
- \(p,q\) \(\in[1,+\infty]\) tels que \(\frac1p+\frac1q=1\) (exposants conjugués)
- \(f,g\) \(:E\to\overline{\Bbb R}\) sont mesurables
- résultats :
- $$\begin{align}\lVert fg\rVert_1&\leqslant\lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_q\\ \int\lvert fg\rvert\,d\mu&\leqslant\left(\int\lvert f\rvert^p\,d\mu\right)^{1/p}\left(\int\lvert f\rvert^q\,d\mu\right)^{1/q}\end{align}$$
- pour \(p=q=2\), on retrouve l'inégalité de Cauchy-Schwarz
- éléments de preuve : concavité de \(x\mapsto\ln(x)\) dans le cas où \(p,q\lt +\infty\)
- on a égalité si et seulement si $$\exists(\alpha,\beta)\in{\Bbb R}^2\setminus\{(0,0)\},\quad \alpha\lvert f\rvert^p\overset{pp}=\beta\lvert g\rvert^q$$
Inégalité de Cauchy-Schwarz
